Grup Siklik

Sifat-sifat Dasar

Jika H suatu grup dan x  H

H = { xm | m Є Z }

Maka dinamakan grup siklik dan grup H = < x > dan x dinamakan pembangun H .

Dan misalkan F subgroup H, maka

F = { xm | m Є Z }

Dinamakan subgroup siklik H yang dibangun oleh x.

Contoh

Diketahui Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat biasa. Grup

Z merupakan grup siklik karena <1> = Z dan <−1> = Z .

Definisi (Order)

Diketahui G merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada G berhingga, maka

order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tidak berhingga,

maka order dari G adalah tidak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan |G| .

Contoh

Himpunan Z merupakan grup siklik yang memiliki order tidak berhingga.

Teorema 1

Setiap grup siklik merupakan grup komutatif

Kebalikan teorema di atas belum tentu berlaku. Grup siklik merupakan tipe sederhana dari grup abel.

Lemma 1

Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat secara unik bilangan bulat q dan r  sehingga

n   =  m q  +  r                          dan  0 ≤  r  ≤ m

Teorema 2

Subgrup dari suatu grup siklik juga siklik

Akibat Lemma 1

Subgrup-subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan pasti berbentuk nZ untuk n bilangan bulat

Klasifikasi Grup Siklik

Misalkan G adalah grup siklik dengan pembangun a

Kasus I.

G memiliki tak hingga elemen, sehingga order dari G adalah tak hingga.

Kasus II

G memiliki order hingga

Definisi JUMLAH MODULO

Misalkan n suatu bilangan positif dan h dan k adalah sebarang bilangan bulat. Bilangan bulat r sehingga

h + k = n q + r untuk 0 ≤  r  ≤ n

adalah jumlah modulo n dari h dan k

Teorema 3

Himpunan { 0,1,2,…,n-1 } adalah grup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo

Kita lihat jika h + k = r dalam Zn, maka dalam Z kita memiliki h + k r (mod n)

Teorema 4

Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan dibangun oleh a. misalkan b Є G dan misalkan b = as. maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota, dimana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.

2 Tanggapan to “Grup Siklik”

  1. ami Says:

    ada bahasan tenteng teorema burnside ga???klo ada sama aplikasinya dalam kehidupan nyata seperti apa???


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: