Isomorfisma

Definisi Isomorfisma

Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G’ adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu pada dari G ke G’ dan untuk setiap x dan y di G berlaku:

(xy)σ = (xσ) (yσ)

Grup G dan G’ kemudian dikatakan Isomorf,

Teorema 1

Jika σ: G → G’ suatu isomorfisma dari G ke G’, dan e adalah identitas dari G maka e σ identitas dari G’. dan juga

a-1 σ=(a σ)-1 untuk semua a e G.


Cara Menunjukkan Dua Grup Isomorf

Langkah 1 Definisikan fungsi φ yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G’. Ini berarti kamu mesti mendeskripsikan berupa apa xσ di G untuk semua x di G.

Langkah 2 Tunjukkan σ satu-satu

Langkah 3 Tunjukkan σ pada

Langkah 4 Tunjukkan (xy)σ = (xσ) (yσ) untuk semua x,y e G

Cara Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf.

Ini berarti tidak terdapat fungsi satu-satu pada  dari G ke G’ dengan sifat (xy) σ = (x σ) (y σ). Secara umum tidak mungkin mudah mencari semua fungsi dan mengeceknya satu demi satu apakah memenuhi definisi isomorfisma atau tidak. Kasus yang paling mudah saat kita tidak mungkin menemukan fungsi yang satu-satu dari G ke G’, nah biasanya ini mudah kita cek saat grupnya berhingga dan kedua grup tidak sama jumlah angotanya.

Struktur dari sebuah Grup, mesti dimiliki oleh grup lain yang isomorf dengannya. Berikut contoh struktur dan non-struktur dari suatu grup.

Struktur

  1. Grupnya siklik
  2. komutatif
  3. order yang sama

Non- Struktur

  1. grup memuat 5
  2. semua elemen grup adalah angka
  3. subgroup dari grup lain.

Contoh : kita tidak bisa mengatakan bahwa grup Z dan 3Z atas operasi jumlah tidak isomorf dengan mengatakan 11 ∈ Z dan 11  ∉ 3Z. itu bukan struktur dari uatu grup.

Teorema 2

Sebarang grup siklik tak hingga isomorf dengan Z, grup bilangan bulat terhadap operasi jumlah.

Dengan cepat kita bisa lihat bahwa semua grup isomorf dengan dirinya. fungsi identitas I yang didefinisikan dengan gi = gi untuk semua ge G adalah isomorfismanya.Jika G isomorf dengan G’, maka G’ juga isomorf dengan G, dimana isomorfismanya adalah φ-1: G’ G. Dan terakhir, jika G isomorf dengan G’ (dengan isomorfisma φ: GG’) dan G’ isomorf dengan G” (dengan isomorfismanya φ’: G’ G”), dimana isomorfismanya adalah komposisi fungsi φ φ’.

Jika diberikan koleksi takhampa grup, kita bisa mempartisi grup-grup ini ke dalam sel-sel (kelas ekivalen) dimana sebarang dua grup yang terletak pada kelas yang sama senantiasa isomorf dan tidak ada dua grup dari kelas yang berbeda isomorf.

Teorema 3 (Cayley)

Setiap grup isomorf pada suatu grup permutasi

Bukti. Misal diberikan sebarang grup G .Diberikan ide pengerjaannya sebagai berikut.

Langkah 1.       Temukan him. Gdari permutasi yang merupakan khandidat yang akan membentuk grup dn akan isomorf dengan  G.

Langkah 2.       Buktikan  G adalah grup terhadap operasi kali permutasi

Langkah 3.       Definisikan pemetaan f: G G, dan tunjukkan bahwa f suatu isomorfisma.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: